OPERACIONES CON POLINOMIOS 2

Multiplicación y División de Polinomios

Operaciones con polinomios: multiplicación y división Multiplicación de monomios El producto de dos monomios es otro monomio cuyo grado es la suma de los grados de los factores. (2x7) · (3x3) = 6x10 (5x) · (x) = 5x2 Multiplicación de un monomio por un polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. (3x2) · (2x3 + 52 - 7) = 6x5 + 15x4 - 21x2 Multiplicación de polinomios Para multiplicar dos polinomios se multiplican los términos del primero por cada uno de los del segundo y se reducen los términos semejantes. R(x) = 5x3 + x - 1 S(x) = 2x2 - 1 R(x) · S(x) = (5x3 + x - 1) · (2x2 - 1) = =(5x3) · (2x2) + (5x3) · (-1) + (x) · (2x2) + (x) · (-1) + (-1) · (2x2) + (-1) · (-1) = =10x5 - 5x3 + 2x3 - x - 2x2 + 1 = 10x5 - 3x3 - 2x2 - x + 1 Potencia de un polinomio con exponente natural La potencia [P(x)]n, de base un polinomio y exponente un número natural n, se define por: [P(x)]n = P(x) · P(x) · ... · P(x)    (n veces) [P(x)]0 = 1 Para realizar estas operaciones nos ayudamos en algunos casos de las igualdades notables. (x2 - 1)2 = x4 - 2x2 + 1 División de un polinomio por un monomio Se divide cada término del polinomio por el monomio. División de polinomios Al dividir dos polinomios, D(x) y d(x), obtenemos otros dos polinomios c(x) y r(x) que cumplen que: D(x) = d(x) · c(x) + r(x) D(X) se denomina polinomio dividendo. d(X) se denomina polinomio divisor. c(X) se denomina polinomio cociente. r(X) se denomina polinomio resto. El grado de r(x) < grado de d(x) El grado del cociente es igual a la diferencia de los grados del dividendo y del divisor: Grado c(x) = grado D(x) - grado d(x) Ejemplo de división de polinomios (3x3 + 2x2 - x + 1) : (x2 + 1) Primer paso: Hallamos el cociente del monomio de mayor grado del dividendo entre el monomio de mayor grado del divisor: 3x3 / x2 =3x Segundo paso: Multiplicamos el monomio obtenido por el divisor y despues restamos el resultado al dividendo: 3x (x2 + 1) = 3x3 + 3x (3x3 + 2x2 - x + 1)-(3x3 + 3x) Tercer paso: Repetimos el proceso con el nuevo dividendo, hasta obtener un polinomio de grado menor que el divisor. Dicho polinomio será el resto de la división. Fuente: operaciones_con_polinomios EVALUACIÓN OPERACIONES CON POLINOMIOS EVALUACIÓN THATQUIZ: OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS 

Objetivo de Aprendizaje

·         Sumar y restar polinomios

Introducción

Sumar y restar polinomios puede sonar complicado, pero en realidad no es muy distinto de sumar y restar números. Cualquiera de los términos que tengan las mismas variables con los mismos exponentes pueden ser combinados.

Sumando Polinomios

Sumar polinomios implica combinar términos. Los términos semejantes son monomios que contienen la misma variable o variables elevadas a la misma potencia. Los siguientes son ejemplos de términos semejantes y no semejantes:

Monomios	Términos	Explicación
3x 14x	semejante	las mismas variables con los mismos exponentes
16xyz2 -5xyz2	semejante	las mismas variables con los mismos exponentes
3x 5y	no semejante	diferentes variables con los mismos exponentes
-3z -3z2	no semejante	las mismas variables con diferentes exponentes

Combinamos términos comunes al sumar o restar el coeficiente del término pero manteniendo las variables y sus exponentes. La Propiedad Distributiva es la razón por la que podemos hacer esto. Echa un vistazo al ejemplo de abajo para que veas que está bien sumar y restar los coeficientes de los términos comunes:

  

Acabamos de ver cómo sumar dos monomios que tienen términos comunes. También podemos aplicar las propiedades de los números cuando sumamos polinomios. Para sumar polinomios, reorganiza la expresión juntando los términos comunes para combinarlos más fácilmente:

Ejemplo
Problema	(8x2  + 4x + 12) + (2x2  + 7x + 10)
	(8x2 + 2x2) + (4x + 7x) + (12 + 10)		Reagrupar usando las Propiedades Conmutativa y Asociativa
	10x2 + 11x + 22		Sumar términos comunes
Solución	10x2 + 11x + 22

El procedimiento es el mismo cuando sumamos polinomios que contengan coeficientes negativos o resta como se muestra abajo:

Ejemplo
Problema	(-5x2 – 10x – 7y + 2) + (3x2 – 4 + 7x)
	(-5x2 + 3x2) + (-10x + 7x) – 7y + (2 – 4)				Reagrupar usando las Propiedades Conmutativa y Asociativa
	-2x2 + (-3x) – 7y – 2				Combinar términos comunes
Solución	-2x2 – 3 x – 7y – 2

Hasta ahora, hemos sumado polinomios leyendo de izquierda a derecha sobre la misma línea. Algunas personas prefieren organizar su trabajo verticalmente, porque les es más fácil asegurarse que están combinando términos semejantes. El proceso de sumar los polinomios es el mismo, pero el arreglo de los términos es diferente. El ejemplo de abajo muestra este método "vertical" de sumar polinomios:

Ejemplo
Problema	(3x2 + 2xy – 7 ) + (7x2 – 4xy + 8)
	3x2 + 2xy – 7 + 7x2 – 4xy + 8				Escribir un polinomio debajo del otro
	3x2 + 2xy – 7 + 7x2 – 4xy + 8 10x2 – 2xy + 1				Combinar términos comunes poniendo atención en los signos
Solución	10x2 – 2xy + 1

Algunas veces en un arreglo vertical, podemos alinear cada término debajo de su semejante, como hicimos en el ejemplo de arriba. Pero otras veces no queda tan ordenado. Cuando no existe un término semejante para cada término, quedará un lugar vacío en el arreglo vertical.

Ejemplo
Problema	(4x2y + 5x2  + 3xy – 6x + 2) + (–4x2 – 8xy + 10)
4x2y + 5x2 + 3xy – 6x + 2 + – 4x2 – 8xy + 10 4x2y + x2 – 5xy – 6x + 12		Escribir un polinomio bajo el otro, alineando verticalmente los términos comunes Dejar un espacio en blanco arriba o abajo de cada término que no tenga término semejante Combinar términos semejantes, poniendo atención en los signos
Solución	4x2y + x2 – 5xy – 6x + 12

Restando Polinomios

Restar polinomios también implica identificar y combinar términos comunes. Recuerda que el signo de resta enfrente de los paréntesis es como el coeficiente de -1. Cuando restamos, podemos distribuir (-1) a cada uno de los términos en el segundo polinomio y luego sumar los dos polinomios. Veamos un ejemplo:

Ejemplo
Problema		(15x2 + 12xy + 20) – (9x2 + 10xy + 5)
(15x2 – 9x2) + (12xy – 10xy) + (20 – 5)			Distribuir -1 a los términos en el segundo polinomio, luego reagrupar para que coincidan los términos semejantes
	6x2  + 2xy + 15		Combinar términos semejantes
Solución	6x2  + 2xy + 15

Cuando los polinomios incluyen muchos términos, puede ser fácil perder la noción de los signos. Sé muy cuidadoso de transferirlos correctamente, especialmente cuando restas un término negativo.

Ejemplo
Problema		(14x2y  + 3x2  – 5y + 14) – (7x2y  + 5x2  – 8y + 10)
(14x2y + 3x2 – 5y + 14) + (-7x2y – 5x2 + 8y – 10)			Distribuir (-1)
(14x2y – 7x2y) + (3x2 – 5x2) + (-5y + 8y) + (14 – 10)			Reagrupar términos comunes usando la Propiedad Asociativa
7x2y – 2x2 + 3y + 4			Combinar términos comunes
Solución	7x2y – 2x2 + 3y + 4

Al igual que con las operaciones enteras, la experiencia y la práctica hacen cada vez más fácil sumar y restar polinomios.

Resuelve.                  (4a + 5by + 7b) – (8a + 3b + 2b2y) A) -4a + 3b2y  + 4b B) -4a + 10b + 5by + 2b2y C) -4a + 4b + 5by – 2b2y D)  12a + 5by – 2b2y  + 10b Mostrar/Ocultar la Respuesta

Sumario

Cuando sumes o restes polinomios, busca términos semejantes, que son los términos que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia. Usa la Propiedad Conmutativa de la Suma para reagrupar los términos en una expresión y formar conjuntos de términos semejantes. Los términos semejantes se combinan sumando o restando los coeficientes mientras que las variables y los exponentes se mantienen.

Los polinomios no son considerados simplificados hasta que todos los términos comunes han sido combinados.